안대영의 카오스와 프랙탈 1. Fractal 이란 무엇인가? 프랙탈이란 전체를 부분부분으로 나누었을 때 부분안에 전체을 모습을 갖는 무한단계에서의 기하적인 도형이다. 우리가 보는 것은 유한단계의 그림을 보는 것이다. 자기닮음(self-similar, 자기유사성)과 축소에 대한 불변(independent of scale)을 갖는다. 아래 그림은 프랙탈이 아니다. 왜! 프랙탈은 무한단계의 그림이다. 실제 존재하지 않는다. 왜 무한단계이어야 하는가? 2. 축소에 대한 불변(프랙탈 차원) 자기닮음 이란 무엇인가? 자기닮음이란 도형의 각 부분들이 전체와 닮은 성질이다. 자기닮음을 지니고 있다고 해서 프랙탈은 아니다. 선, 정사각형, 정육면체, 코흐 곡선에 대해 생각해보자. 차원의 종류는 20여 가지가 있다. 다음은 일반적으로 사용하는 자기닮음 차원을 구하는 방법이다. N : 조각의 개수, D : 프랙탈 차원 r : 축소율 N=(1/r) D 즉, D=(logN)/(log(1/r)) 도형 조각의 개수 축소율(r) 차원 선분 3 (길이 1인 선분을 3등분 했을때의 개수) 1/3 (길이 1인 선분을 3등했을때의 길이 log3/log3 =1 6 1/6 log6/log6 =1 9 1/9 log9/log9 =1 정사각형 9=3 2 (각변을 3등분) 1/3 log9/log3 =2 36=6 2 (각변을 6 등분) 1/6 log36/log6 =2 정육면체 27=3 3 1/3 log27/log3 =3 216=6 3 1/6 log216/log6 =3 코흐곡선 4 1/3 log4/log3=1.26 16 1/9 log16/log9=1.26 4 k 1/(3 k ) ●프랙탈 차원 종류 Capacity Dimension, Correlation Dimension, Fractal Dimension, Hausdorff Dimension, Information Dimension, Lyapunov Dimension, Minkowski-Bouligand Dimension, Pointwise Dimension, q-Dimension 3. 상자차원이란 무엇인가? 자기닮음 차원을 사용할 수 없는 경우가 있다. 다양한 크기의 격자를 이용하여 도형의 복잡도를 측정할 수 있다. 주어진 그림을
